12. Ανισώσεις 1^{ου} βαθμού – Μαθηματικά Γυμνασίου & Λυκείου

1 Οι ανισώσεις \(αx+β \geq 0\) και \(αx+β \leq 0\)

1.1 Ανισώσεις 1ου Βαθμού: \(\alpha x + \beta > 0\) και \(\alpha x + \beta < 0\)

1.1.1 Ορισμοί

Ανίσωση 1ου βαθμού: Κάθε ανίσωση που έχει τη μορφή \(\alpha x + \beta > 0\) ή \(\alpha x + \beta < 0\) (καθώς και \(\alpha x + \beta \geq 0\) ή \(\alpha x + \beta \leq 0\)), όπου \(\alpha, \beta\) είναι πραγματικοί αριθμοί και \(x\) ο άγνωστος.
Λύση ή Ρίζα: Ονομάζεται κάθε πραγματικός αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο \(x\), επαληθεύει την ανισωτική σχέση.
Σύνολο Λύσεων: Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών που αποτελούν λύσεις της ανίσωσης. Αυτό μπορεί να είναι ένα διάστημα ή και το κενό σύνολο.

1.1.2 Πώς επιλύονται (Μεθοδολογία)

Η επίλυση μιας ανίσωσης 1ου βαθμού ακολουθεί παρόμοια ϐήματα με την αντίστοιχη εξίσωση, με τη ϐασική διαφορά ότι η ϕορά της ανίσωσης αλλάζει όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε με αρνητικό αριθμό.

Απαλοιφή παρονομαστών: Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών. Αν το Ε.Κ.Π. είναι θετικός αριθμός, η ϕορά παραμένει ίδια.
Απαλοιφή παρενθέσεων: Εϕαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα.
Χωρισμός γνωστών από αγνώστους: Μεταφέρουμε τους όρους με τον άγνωστο \(x\) στο ένα μέλος και τους αριθμούς στο άλλο.
Αναγωγή ομοίων όρων: Καταλήγουμε στην απλή μορφή \(\alpha x > -\beta\) ή \(\alpha x < -\beta\).
Διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου (\(\alpha\)):
- Αν \(\alpha > 0\), τότε \(x > -\dfrac{\beta}{\alpha}\) (η ϕορά παραμένει ίδια).
- Αν \(\alpha < 0\), τότε \(x < -\dfrac{\beta}{\alpha}\) (η ϕορά αλλάζει).
- Αν \(\alpha = 0\), η ανίσωση παίρνει τη μορφή \(0x > -\beta\). Αν η σχέση που προκύπτει αληθεύει (π.χ. \(0 > -5\)), τότε η ανίσωση είναι αόριστη (ισχύει για κάθε \(x \in \mathbb{R}\)). Αν δεν αληθεύει (π.χ. \(0 > 5\)), τότε είναι αδύνατη.

1.1.3 Παραδείγματα

Απλό παράδειγμα: \(2x + 4 > 0 \Rightarrow 2x > -4 \Rightarrow x > -2\). Λύση: \((-2, +\infty)\).

Γεωμετρική απεικόνιση
Με αρνητικό συντελεστή: \(-2x + 4 > 0 \Rightarrow -2x > -4 \Rightarrow x < \dfrac{-4}{-2} \Rightarrow x < 2\). Λύση: \((-\infty, 2)\).

Γεωμετρική απεικόνιση
Με κλάσματα: \(\dfrac{5x+1}{6} < \dfrac{x+1}{2} + \dfrac{2x+1}{3}\).
Πολλαπλασιάζουμε με το Ε.Κ.Π. (6): \(5x+1 < 3(x+1) + 2(2x+1) \Rightarrow 5x+1 < 3x+3+4x+2 \Rightarrow 5x-7x < 5-1 \Rightarrow -2x < 4 \Rightarrow x > -2\).

1.2 Εύρεση των κοινών λύσεων δύο ή περισσότερων ανισώσεων

Σημείωση

Για την εύρεση των κοινών λύσεων δύο ή περισσότερων ανισώσεων (διαδικασία που ονομάζεται συναλήθευση), ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Επιλύουμε κάθε ανίσωση χωριστά ώστε να βρούμε το σύνολο λύσεων για την καθεμία.
Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων πάνω στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών.
Βρίσκουμε την τομή (overlap) των συνόλων λύσης, δηλαδή το διάστημα εκείνο στο οποίο αληθεύουν όλες οι ανισώσεις ταυτόχρονα.

Ακολουθεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα:

1.2.1 Παράδειγμα Συναλήθευσης (Ανισώσεις με Κλάσματα)

Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων:

Ανίσωση 1: \(\dfrac{x-1}{3} + \dfrac{4(2x-3)}{9} < \dfrac{5x+1}{8}\)

Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών (που είναι το 72): \(24(x-1) + 32(2x-3) < 9(5x+1)\)
Εκτελούμε τις πράξεις: \(24x - 24 + 64x - 96 < 45x + 9\)
Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους: \(24x + 64x - 45x < 24 + 96 + 9 \Rightarrow 43x < 129\)
Διαιρούμε με το 43: \(x < 3\) (Άρα το σύνολο λύσεων είναι \(E_1 = (-\infty, 3)\)).

Ανίσωση 2: \(\dfrac{5x+9}{2} + \dfrac{7x+5}{6} > \dfrac{3x+21}{4}\)

Πολλαπλασιάζουμε με το Ε.Κ.Π.
1. και μετά από την επίλυση (απαλοιφή παρονομαστών και αναγωγή όρων) προκύπτει η ανισότητα: \(x > 1\)
(Το σύνολο λύσεων είναι \(E_2 = (1, +\infty)\)).

Εύρεση Κοινών Λύσεων:

Το σύνολο των κοινών λύσεων είναι η τομή των δύο παραπάνω συνόλων:

\[E = E_1 \cap E_2 = \{x \in \mathbb{R} : 1 < x < 3\}\] Δηλαδή, οι ανισώσεις συναληθεύουν για κάθε αριθμό \(x\) που βρίσκεται στο ανοικτό διάστημα \((1, 3)\).

1.3 Ανισώσεις με Απόλυτες Τιμές

Ορισμός και Γεωμετρική Ερμηνεία

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού \(\alpha\), η οποία συμβολίζεται με \(|\alpha|\), ορίζεται ως ο ίδιος ο αριθμός αν είναι θετικός ή μηδέν, και ο αντίθετός του αν είναι αρνητικός. Συμβολικά: \[|\alpha| = \begin{cases} \alpha, & \alpha \ge 0 \\ -\alpha, & \alpha < 0 \end{cases}\]

Από γεωμετρική άποψη, η απόλυτη τιμή ενός αριθμού \(\alpha\) παριστάνει την απόσταση του σημείου \(A(\alpha)\) από την αρχή \(O(0)\) πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Επειδή η απόλυτη τιμή εκφράζει απόσταση, ισχύει πάντα ότι \(|\alpha| \ge 0\) για κάθε \(\alpha \in \mathbb{R}\).

1.3.1 Τρόπος Επίλυσης (Μεθοδολογία)

Η επίλυση των ανισώσεων με απόλυτες τιμές βασίζεται κυρίως στις παρακάτω ιδιότητες, όπου υποθέτουμε ότι \(\theta > 0\):

Ανισώσεις της μορφής \(|x| < \theta\) ή \(|x| \le \theta\): Η ανίσωση \(|x| < \theta\) ισοδυναμεί με τη διπλή ανίσωση \(-\theta < x < \theta\). Αυτό σημαίνει ότι ο \(x\) βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς \(-\theta\) και \(\theta\).
- Αν \(\theta < 0\), η ανίσωση είναι αδύνατη, καθώς ένα απόλυτο δεν μπορεί να είναι μικρότερο από αρνητικό αριθμό.
- Αν \(\theta = 0\), η ανίσωση \(|x| < 0\) είναι αδύνατη, ενώ η \(|x| \le 0\) έχει μοναδική λύση τη \(x = 0\).
Ανισώσεις της μορφής \(|x| > \theta\) ή \(|x| \ge \theta\): Η ανίσωση \(|x| > \theta\) ισοδυναμεί με τις σχέσεις \(x < -\theta\) ή \(x > \theta\).
- Αν \(\theta < 0\), η ανίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\).
- Αν \(\theta = 0\), η ανίσωση \(|x| > 0\) αληθεύει για κάθε \(x \neq 0\).
Ανισώσεις της μορφής \(|f(x)| < |g(x)|\): Σε αυτή την περίπτωση, επειδή και τα δύο μέλη είναι μη αρνητικά, μπορούμε να υψώσουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη χωρίς να αλλάξει η φορά της ανίσωσης: \(f^2(x) < g^2(x)\). Έτσι, απαλλασσόμαστε από τα απόλυτα και λύνουμε την ανίσωση που προκύπτει.
Ανισώσεις με περισσότερα απόλυτα ή σύνθετες παραστάσεις: Όταν υπάρχουν διαφορετικά απόλυτα, βρίσκουμε τις τιμές που μηδενίζουν τις εσωτερικές παραστάσεις και χωρίζουμε τον άξονα των πραγματικών αριθμών σε διαστήματα. Μελετάμε το πρόσημο κάθε απόλυτου σε κάθε διάστημα ξεχωριστά, απαλείφουμε τα σύμβολα των απολύτων και επιλύουμε την απλή ανίσωση που προκύπτει, συναληθεύοντας τη λύση με το αντίστοιχο διάστημα.

1.3.2 Παραδείγματα

Απλή περίπτωση: \(|x - 5| < 2 \Leftrightarrow -2 < x - 5 < 2 \Leftrightarrow 3 < x < 7\). Άρα \(x \in (3, 7)\).
Περίπτωση “μεγαλύτερο από”: \(|1 - x| > 3 \Leftrightarrow 1 - x < -3\) ή \(1 - x > 3 \Leftrightarrow -x < -4\) ή \(-x > 2 \Leftrightarrow x > 4\) ή \(x < -2\).
Υψώνοντας στο τετράγωνο: \[ \begin{align} |x - 1| &< |x - 2| \Leftrightarrow\\ (x - 1)^2 &< (x - 2)^2 \Leftrightarrow\\ x^2 - 2x + 1 &< x^2 - 4x + 4 \Leftrightarrow\\ 2x &< 3 \Leftrightarrow\\ x &< \dfrac{3}{2} \end{align} \].

1.4 Ασκήσεις

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:

\(\dfrac{x-5}{7} + \dfrac{1}{2} > \dfrac{x}{2} - 1\)
\(\dfrac{x}{3} - \dfrac{x-1}{2} < \dfrac{1}{6}(2-x)\)
\(\dfrac{3x-1}{5} - \dfrac{18x}{5} < \dfrac{2}{3} + 2x\)
\(\dfrac{x+1}{2} < x - \dfrac{x-2}{3}\)
\(\dfrac{x-1}{3} + \dfrac{4(2x-3)}{9} < \dfrac{5x+1}{8}\)
\(\dfrac{3x-2}{4} + \dfrac{5x+1}{2} < x\)
\(\dfrac{x+2}{4} - \dfrac{x}{3} \leq -1\)
\(\dfrac{x}{5} - \dfrac{x+1}{15} < 0\)
\(\dfrac{x+1}{2} + \dfrac{2x+3}{4} \geq \dfrac{x+5}{6}\)
\(\dfrac{2x-3}{4} - \dfrac{x-2}{2} \leq \dfrac{1}{2}\)
Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

\(3x - 1 < x + 9\)
\(\dfrac{x-1}{2} \leq \dfrac{x}{2} + 2\)

Να βρεθεί το σύνολο των κοινών λύσεων των παρακάτω ανισώσεων:

\(\dfrac{x-1}{3} + \dfrac{4(2x-3)}{9} < \dfrac{5x+1}{8}\)
\(d\frac{5x+9}{2} + \dfrac{7x+5}{6} > \dfrac{3x+21}{4}\)

Να βρείτε τις τιμές του \(x\) για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:

\(|2x - 3| \leq 5\)
\(|2x - 3| \geq 1\)

Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παρακάτω περιπτώσεων:

Ανίσωση Α: \(|x - 1| \geq 5\)
Ανίσωση Β: Οι αριθμοί \(x\) που απέχουν από το \(5\) απόσταση μικρότερη του \(3\) (δηλ. \(|x - 5| < 3\)).

Να λυθεί η διπλή ανίσωση (που ισοδυναμεί με σύστημα δύο ανισώσεων): \[1 < |x - 2| < 3\]
Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:

1. \(|x - 1| < 5\)
1. \(|2x - 3| \le 5\)
1. \(|3x + 4| > 6\)
1. \(|2x + 12| < -1\)
1. \(|x^2 - 25| \le 0\)
1. \(1 < |x - 2| < 3\)
1. \(|2x - 1| < 2|x - 2|\)
1. \(||x - 2| - 1| < 4\)
1. \(|2x - 1| + |x - 2| > 7\)
1. \(\dfrac{1 - |x|}{|2x - 1| - 3} > 1\)

Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!